二次函数知识点
一、二次函数概念：
．二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2.二次函数的结构特征：
⑴等左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．
⑵是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．
二、二次函数的基本形式
.二次函数基本形式：的性质：
的绝对值越大，抛物线的开口越小。
的符
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
2.的性质：
上下减。
的符
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
3.的性质：
左右减。
的符
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
X=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
X=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
4.的性质：
的符
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
X=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
X=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
三、二次函数图象的平移
.平移步骤：
方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
⑵保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
2.平移规律
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．
概括成八个字“左右减，上下减”．
方法二：
⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成
（或）
⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）
四、二次函数与的比较
从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．
五、二次函数图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
六、二次函数的性质
.当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．
2.当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．
七、二次函数解析式的表示方法
.一般式：（，，为常数，）；
2.顶点式：（，，为常数，）；
3.两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
.二次项系数
二次函数中，作为二次项系数，显然．
⑴当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；
⑵当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．
总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．
2.一次项系数
在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．
⑴在的前提下，
